拉普拉斯方程的極坐標(biāo)形式 拉普拉斯方程

1、拉普拉斯方程表示液面曲率與液體壓力之間的關(guān)系的公式。

【資料圖】

2、一個(gè)彎曲的表面稱為曲面，通常用相應(yīng)的兩個(gè)曲率半徑來描述曲面，即在曲面上某點(diǎn)作垂直于表面的直線，再通過此線作一平面，此平面與曲面的截線為曲線，在該點(diǎn)與曲線相重合的圓半徑稱為該曲線的曲率半徑R1。

3、通過表面垂線并垂直于第一個(gè)平面再作第二個(gè)平面并與曲面相交，可得到第二條截線和它的曲率半徑R2，用 R1與R2可表示出液體表面的彎曲情況。

4、若液面是彎曲的，液體內(nèi)部的壓力p1與液體外的壓力p2就會(huì)不同，在液面兩邊就會(huì)產(chǎn)生壓力差△P= P1- P2，其數(shù)值與液面曲率大小有關(guān)，可表示為： 　　在數(shù)理方程中，拉普拉斯方程為：△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中△為拉普拉斯算子，此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程。

5、三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結(jié)為求解對(duì)實(shí)自變量x、y、z二階可微的實(shí)函數(shù)φ ：　　上面的方程常常簡(jiǎn)寫作：　　或　　其中div表示矢量場(chǎng)的散度（結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)），grad表示標(biāo)量場(chǎng)的梯度（結(jié)果是一個(gè)矢量場(chǎng)），或者簡(jiǎn)寫作：　　其中Δ稱為拉普拉斯算子.　　拉普拉斯方程的解稱為調(diào)和函數(shù)。

6、　　如果等號(hào)右邊是一個(gè)給定的函數(shù)f(x, y, z)，即：　　則該方程稱為泊松方程。

7、 拉普拉斯方程和泊松方程是最簡(jiǎn)單的橢圓型偏微分方程。

8、偏微分算子或Δ（可以在任意維空間中定義這樣的算子）稱為拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或簡(jiǎn)稱作 Laplacian。

9、　　拉普拉斯方程的狄利克雷問題可歸結(jié)為求解在區(qū)域D內(nèi)定義的函數(shù)φ，使得在D的邊界上等于某給定的函數(shù)。

10、為方便敘述，以下采用拉普拉斯算子應(yīng)用的其中一個(gè)例子——熱傳導(dǎo)問題作為背景進(jìn)行介紹：固定區(qū)域邊界上的溫度（是邊界上各點(diǎn)位置坐標(biāo)的函數(shù)），直到區(qū)域內(nèi)部熱傳導(dǎo)使溫度分布達(dá)到穩(wěn)定，這個(gè)溫度分布場(chǎng)就是相應(yīng)的狄利克雷問題的解。

11、　　拉普拉斯方程的諾伊曼邊界條件不直接給出區(qū)域D邊界處的溫度函數(shù)φ本身，而是φ沿D的邊界法向的導(dǎo)數(shù)。

12、從物理的角度看，這種邊界條件給出的是矢量場(chǎng)的勢(shì)分布在區(qū)域邊界處的已知效果（對(duì)熱傳導(dǎo)問題而言，這種效果便是邊界熱流密度）。

13、　　拉普拉斯方程的解稱為調(diào)和函數(shù)，此函數(shù)在方程成立的區(qū)域內(nèi)是解析的。

14、任意兩個(gè)函數(shù)，如果它們都滿足拉普拉斯方程（或任意線性微分方程），這兩個(gè)函數(shù)之和（或任意形式的線性組合）同樣滿足前述方程。

15、這種非常有用的性質(zhì)稱為疊加原理。

16、可以根據(jù)該原理將復(fù)雜問題的已知簡(jiǎn)單特解組合起來，構(gòu)造適用面更廣的通解。

17、　　在流場(chǎng)中的應(yīng)用　　設(shè)u、v 分別為滿足定常、不可壓縮和無旋條件的流體速度場(chǎng)的x 和y 方向分量（這里僅考慮二維流場(chǎng)），那么不可壓縮條件為：　　無旋條件為：　　若定義一個(gè)標(biāo)量函數(shù)ψ，使其微分滿足：　　那么不可壓縮條件便是上述微分式的可積條件。

18、積分的結(jié)果函數(shù)ψ稱為流函數(shù)，因?yàn)樗谕粭l流線上各點(diǎn)的值是相同的。

19、ψ的一階偏導(dǎo)為：　　無旋條件即令 ψ 滿足拉普拉斯方程。

20、ψ的共軛調(diào)和函數(shù)稱為速度勢(shì)。

21、 柯西-黎曼方程要求　　所以每一個(gè)解析函數(shù)都對(duì)應(yīng)著平面內(nèi)的一個(gè)定常不可壓縮無旋流場(chǎng)。

22、解析函數(shù)的實(shí)部為速度勢(shì)函數(shù)，虛部為流函數(shù)。

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